Семирічним Анатолій Базилевич відвідував художній гурток при Палаці культури металургійного заводу в Жданові (нині Маріуполь). Під час німецької окупації (1943–1945) він перебував із батьками на примусових роботах у Німеччині, де в травні 1944 р. під час бомбардування загинув його батько.
У 1947–1953 рр. Базилевич навчався в Харківському художньому інституті, де здобув фах книжкового й станкового графіка. Його викладачами зокрема були: Йосип Дайц, Григорій Бондаренко, Адольф Страхов, Василь Мироненко та ін. Дипломна робота мистця — ілюстрації до «Буковинської повісті» Ігоря Муратова — засвідчила його вміння поєднувати народні традиції з професійною графічною майстерністю.
Переїхавши до Києва, з 1953 р. Базилевич почав співпрацювати із провідними видавництвами («Молодь», «Веселка», «Дніпро», «Мистецтво», «Радянська школа» та ін.) та з естампним цехом Комбінату монументально-декоративного мистецтва. З 1956 р., здобувши членство Спілки художників України, мистець брав участь у всесоюзних та міжнародних виставках. Персональні експозиції Базилевича були організовані в Києві в 1961 р. та 1996 р..
Понад десять років (1958–1968) Базилевич разом з іншими майстрами створював ілюстрації до «Енеїди» Котляревського — понад 130 малюнків, опублікованих уперше 1968 р. у видавництві «Дніпро» до 200-річчя поета. Це видання, випущене накладом 5 000 примірників, розкупили за лічені дні й перевидавали 17 разів. Ілюстрації Базилевича для «Енеїди» здобули надзвичайну популярність і вважаються одними з найвпізнаваніших візуальних образів козака Енея в українському мистецтві.
Графіка Базилевича поєднує фольклорні мотиви, бурлеск і тонкий гумор із глибинним історизмом. Він умів «закодувати» еротичні сюжетні фрагменти «Енеїди» через натяк і символіку, обходячи цензурні заборони. Мистецтвознавці відзначають його «суржик образів» як суміш античності, етнографії ХІХ ст. і шарму шістдесятників.
Роботи майстра зберігаються в Національному художньому музеї України в Києві, Музеї книги й друкарства України, Художній галереї м. Алупка, приватних колекціях України та за кордоном. Ілюстрації до «Енеїди» неодноразово експонувалися на ретроспективах.
Анатолій Базилевич сформував один із найбільш впізнаваних візуальних образів української книжкової графіки ХХ ст. Його ілюстрації надихають і сьогодні, формуючи нові покоління митців і читачів.